அலகுநிலை அணி

 அலகுநிலை அணி 

கணிதத்தில் சிக்கலெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இணை இடமாற்று அணி மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால், அச்சதுர அணியானது அலகுநிலை அணி (unitary matrix)எனப்படும்.

U என்பது அலகுநிலை அணி எனில்:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I.}$ U அணியின் இணை இடமாற்று அணி, U^∗, I முற்றொருமை அணி.

அதாவது,

${\displaystyle U^{*}=U^{-1}.}$ U அணியின் நேர்மாற்று அணி U^-1

சிக்கலெண்களில் அமைந்த அலகுநிலை அணிக்கு ஒத்ததாக மெய்யெண்களில் உள்ளது செங்குத்து அணி ஆகும்.

அணிகளின் கூட்டல் ,பெருக்கல்

      அணிகளின் கூட்டல் 

A = A(C) = (${\displaystyle a_{i,j}}$), B = B(C) = (${\displaystyle b_{i,j}}$), இரண்டு ${\displaystyle m\times n}$ அணிகள் என்று கொண்டால், A + B க்கு வரையறை,

A + B = ${\displaystyle (a_{i,j}+b_{i,j})}$.

எ.கா.:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&3&1+i\\1&0&-2i&-i\\2&2&2&2\end{pmatrix}}}$ + ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&4&2+i\\0&1&2-2i&3-i\\i&0&0&4\end{pmatrix}}}$

    அணிகளின்பெருக்கல்

A = A(F) = (a_i,j) ஒரு ${\displaystyle m\times n}$ அணி என்று கொள்வோம்.

F இல் ${\displaystyle \lambda }$ என்ற ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ${\displaystyle \lambda \times A}$ அல்லது ${\displaystyle \lambda A}$ கீழ்க்கண்டபடி வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle \lambda A=\lambda (a_{i,j})=(\lambda a_{i,j})}$

இந்தச் செயல்முறைக்கு, அளவெண்பெருக்கல் (scalar multiplication) என்று பெயர்.

எ.கா.:

A = A(C) = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}}$

என்றால், (2i) A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2i&2i&2i&2i\\-2i&2i&4i&6i\\2i(-2+i)&-4i&-4i&4i\end{pmatrix}}}$

இடமாற்று அணி

ஒரு அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை A^T என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

A^T = (${\displaystyle a_{i,j}}$)^T = (${\displaystyle a_{j,i}}$) என்றும் எழுதலாம்.

எ.கா.:

A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&2i\\-4&5&0\\7&8&9\end{pmatrix}}}$

இதனுடைய இடமாற்று அணி

A^T = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\2i&0&9\end{pmatrix}}}$

• A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\-4&5\\7&8\end{pmatrix}}}$

இதனுடைய இடமாற்று அணி

A^T = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\\end{pmatrix}}}$

அணிகள்

அணிகள்

கணிதத்தில் அணி (matrix) அல்லது தாயம் (இலங்கை வழக்கு) என்பது m வரிசை (அல்லது நிரை) களும் nநிரல்களும் கொண்ட ஒரு செவ்வகப்பட்டியல். வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றாக இருந்தால் அது சதுர அணி ( m = n) ஆகும். இப்பட்டியலில் உள்ள உறுப்புக்கள் எண்களாகத்தான்இருக்கவேண்டிய கட்டாயம் இல்லை. ஆனால் கணிதத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அணியின் உறுப்புக்கள் எண்களாகவோ அல்லது வேறு எதுவாகவோ இருந்தாலும் அவை ஒன்றுக்கொன்று கூட்டல் என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பெருக்கல் என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பொருள் கொடுப்பதாக இருக்கவேண்டும். முக்கியமாக எங்கெங்கெல்லாம் நேரியல் சமன்பாடுகள் அல்லது நேரியல் உருமாற்றங்கள் தோன்றுகின்றனவோ அங்கெல்லாம் அணிகள் பயன்படும். அணிகளின் தனித்தனிப் பயன்பாடுகளைக் கோவையாகக் கொடுப்பது தான் அணிக்கோட்பாடு. இதனால் அணிக்கோட்பாட்டைநேரியல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகவும் கருதுவதுண்டு.

வரையறை

F என்பது ஒரு பரிமாற்றுக்களம் என்று கொள்க. பின்வரும் செவ்வகப்பட்டியலுக்கு F இல் கெழுக்களைக்கொண்ட ${\displaystyle m\times n}$ அணி A என்று பெயர்:

A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}$

இதை ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$ என்றும் எழுதுவதுண்டு.

இவைகளை சுருக்கமாக எழுதவேண்டின், A = ${\displaystyle (a_{i,j})_{m\times n}}$ அல்லது ${\displaystyle (a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant n}}$

வட்டத்துண்டு

வட்டத்துண்டு (circular segment) என்பது ஒரு வட்டத்தின் பரப்பில் ஒரு பகுதி. இப்பகுதி வட்டத்தின் ஒரு வெட்டுக்கோடு அல்லது நாணால்துண்டாக்கப்பட்ட வட்டப்பரப்பு ஆகும். இவ்வாறு வட்டத்தின் பரப்பு துண்டாக்கப்படும் பொழுது கிடைக்கும் இரு பகுதிகள் கிடைக்கும். அவற்றுள் வட்டத்தின் மையம் அமையாத துண்டுப்பகுதி வட்டத்துண்டாகும். வெட்டும் நாண் மற்றும் அந்நாணின் இரு முனைப்பகுதிகளை இணைக்கும் வட்டவில்இரண்டும் ஒரு வட்டத்துண்டின் வரம்புகளாக அமையும்.

• R - வட்டத்தின் ஆரம்;
• c - வட்டநாணின் நீளம்;
• θ - மையக்கோணம் ரேடியனில்;
• α - வட்டவில் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் பாகைகளில்
• s - வட்டவில்லின் நீளம்;
• h - வட்டத்துண்டின் உயரம்;
• d -வட்டத்துண்டுக்குள் அமையும் முக்கோணப்பகுதியின் உயரம் எனில்:

• வட்ட ஆரம்: ${\displaystyle R=h+d=h/2+c^{2}/8h{\frac {}{}}}$
• வட்டவில்லின் நீளம்: ${\displaystyle s={\frac {\alpha }{180}}\pi R={\theta }R}$

• வட்டநாணின் நீளம்: ${\displaystyle c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}}$

• வட்டத்துண்டின் உயரம்:${\displaystyle h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}$

• மையக்கோணம்: ${\displaystyle \theta =2\arccos {\frac {d}{R}}}$
• 
  
• 

அரைவட்டம்

அரைவட்டம்(semicircle) என்பது ஒரு வட்டத்தில் பாதியளவு கொண்ட இருபரிமாண வடிவமாகும். 360° கொண்ட வட்டத்தில் பாதியாக அரைவட்டம் இருப்பதால், அரைவட்டத்தின் வில்லின் அளவு 180° அல்லது அரைத்திருப்பமாக இருக்கும். ஒரு அரைவட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட முக்கோணம் எப்பொழுதும் செங்கோண முக்கோணமாக அமையும்.                                 

கலைத்திட்ட வளர்ச்சி

கலைத்திட்டத்தின் மேம்பாடு என்பது கலைத்திட்டத்தை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு செயல்முறையாகும். கலைத்திட்டத்தை மேம்படுத்துவதில் பல்வேறு அணுகுமுறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் அணுகுமுறைகள் பகுப்பாய்வு (அதாவது தேவை பகுப்பாய்வு, பணி பகுப்பாய்வு), வடிவமைப்பு (அதாவது நோக்க வடிவமைப்பு), தேர்வு (அதாவது சரியான கற்றல் / கற்பித்தல் முறைகள் மற்றும் அதற்கான மதிப்பீட்டு முறையை தேர்ந்தெடுத்து) உருவாக்கம் (அதாவது பாடத்திட்டத்தை செயல்படுத்த குழு / பாடத்திட்ட மதிப்பீட்டுக் குழுவின் உருவாக்கம்) மற்றும் ஆய்வு (அதாவது கலைத்திட்ட மதிப்பாய்வு குழு).

1. பகுப்பாய்வு
2. வடிவமைப்பு
3. தேர்வு
4. உருவாக்கம்
5. மீள்பார்வை