அலகுநிலை அணி

 அலகுநிலை அணி 

கணிதத்தில் சிக்கலெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இணை இடமாற்று அணி மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால், அச்சதுர அணியானது அலகுநிலை அணி (unitary matrix)எனப்படும்.

U என்பது அலகுநிலை அணி எனில்:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I.}$ U அணியின் இணை இடமாற்று அணி, U^∗, I முற்றொருமை அணி.

அதாவது,

${\displaystyle U^{*}=U^{-1}.}$ U அணியின் நேர்மாற்று அணி U^-1

சிக்கலெண்களில் அமைந்த அலகுநிலை அணிக்கு ஒத்ததாக மெய்யெண்களில் உள்ளது செங்குத்து அணி ஆகும்.

அணிகளின் கூட்டல் ,பெருக்கல்

      அணிகளின் கூட்டல் 

A = A(C) = (${\displaystyle a_{i,j}}$), B = B(C) = (${\displaystyle b_{i,j}}$), இரண்டு ${\displaystyle m\times n}$ அணிகள் என்று கொண்டால், A + B க்கு வரையறை,

A + B = ${\displaystyle (a_{i,j}+b_{i,j})}$.

எ.கா.:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&3&1+i\\1&0&-2i&-i\\2&2&2&2\end{pmatrix}}}$ + ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&4&2+i\\0&1&2-2i&3-i\\i&0&0&4\end{pmatrix}}}$

    அணிகளின்பெருக்கல்

A = A(F) = (a_i,j) ஒரு ${\displaystyle m\times n}$ அணி என்று கொள்வோம்.

F இல் ${\displaystyle \lambda }$ என்ற ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ${\displaystyle \lambda \times A}$ அல்லது ${\displaystyle \lambda A}$ கீழ்க்கண்டபடி வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle \lambda A=\lambda (a_{i,j})=(\lambda a_{i,j})}$

இந்தச் செயல்முறைக்கு, அளவெண்பெருக்கல் (scalar multiplication) என்று பெயர்.

எ.கா.:

A = A(C) = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}}$

என்றால், (2i) A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2i&2i&2i&2i\\-2i&2i&4i&6i\\2i(-2+i)&-4i&-4i&4i\end{pmatrix}}}$

இடமாற்று அணி

ஒரு அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை A^T என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

A^T = (${\displaystyle a_{i,j}}$)^T = (${\displaystyle a_{j,i}}$) என்றும் எழுதலாம்.

எ.கா.:

A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&2i\\-4&5&0\\7&8&9\end{pmatrix}}}$

இதனுடைய இடமாற்று அணி

A^T = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\2i&0&9\end{pmatrix}}}$

• A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\-4&5\\7&8\end{pmatrix}}}$

இதனுடைய இடமாற்று அணி

A^T = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\\end{pmatrix}}}$

அணிகள்

அணிகள்

கணிதத்தில் அணி (matrix) அல்லது தாயம் (இலங்கை வழக்கு) என்பது m வரிசை (அல்லது நிரை) களும் nநிரல்களும் கொண்ட ஒரு செவ்வகப்பட்டியல். வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றாக இருந்தால் அது சதுர அணி ( m = n) ஆகும். இப்பட்டியலில் உள்ள உறுப்புக்கள் எண்களாகத்தான்இருக்கவேண்டிய கட்டாயம் இல்லை. ஆனால் கணிதத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அணியின் உறுப்புக்கள் எண்களாகவோ அல்லது வேறு எதுவாகவோ இருந்தாலும் அவை ஒன்றுக்கொன்று கூட்டல் என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பெருக்கல் என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பொருள் கொடுப்பதாக இருக்கவேண்டும். முக்கியமாக எங்கெங்கெல்லாம் நேரியல் சமன்பாடுகள் அல்லது நேரியல் உருமாற்றங்கள் தோன்றுகின்றனவோ அங்கெல்லாம் அணிகள் பயன்படும். அணிகளின் தனித்தனிப் பயன்பாடுகளைக் கோவையாகக் கொடுப்பது தான் அணிக்கோட்பாடு. இதனால் அணிக்கோட்பாட்டைநேரியல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகவும் கருதுவதுண்டு.

வரையறை

F என்பது ஒரு பரிமாற்றுக்களம் என்று கொள்க. பின்வரும் செவ்வகப்பட்டியலுக்கு F இல் கெழுக்களைக்கொண்ட ${\displaystyle m\times n}$ அணி A என்று பெயர்:

A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}$

இதை ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$ என்றும் எழுதுவதுண்டு.

இவைகளை சுருக்கமாக எழுதவேண்டின், A = ${\displaystyle (a_{i,j})_{m\times n}}$ அல்லது ${\displaystyle (a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant n}}$

வட்டத்துண்டு

வட்டத்துண்டு (circular segment) என்பது ஒரு வட்டத்தின் பரப்பில் ஒரு பகுதி. இப்பகுதி வட்டத்தின் ஒரு வெட்டுக்கோடு அல்லது நாணால்துண்டாக்கப்பட்ட வட்டப்பரப்பு ஆகும். இவ்வாறு வட்டத்தின் பரப்பு துண்டாக்கப்படும் பொழுது கிடைக்கும் இரு பகுதிகள் கிடைக்கும். அவற்றுள் வட்டத்தின் மையம் அமையாத துண்டுப்பகுதி வட்டத்துண்டாகும். வெட்டும் நாண் மற்றும் அந்நாணின் இரு முனைப்பகுதிகளை இணைக்கும் வட்டவில்இரண்டும் ஒரு வட்டத்துண்டின் வரம்புகளாக அமையும்.

• R - வட்டத்தின் ஆரம்;
• c - வட்டநாணின் நீளம்;
• θ - மையக்கோணம் ரேடியனில்;
• α - வட்டவில் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் பாகைகளில்
• s - வட்டவில்லின் நீளம்;
• h - வட்டத்துண்டின் உயரம்;
• d -வட்டத்துண்டுக்குள் அமையும் முக்கோணப்பகுதியின் உயரம் எனில்:

• வட்ட ஆரம்: ${\displaystyle R=h+d=h/2+c^{2}/8h{\frac {}{}}}$
• வட்டவில்லின் நீளம்: ${\displaystyle s={\frac {\alpha }{180}}\pi R={\theta }R}$

• வட்டநாணின் நீளம்: ${\displaystyle c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}}$

• வட்டத்துண்டின் உயரம்:${\displaystyle h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}$

• மையக்கோணம்: ${\displaystyle \theta =2\arccos {\frac {d}{R}}}$
• 
  
• 

அரைவட்டம்

அரைவட்டம்(semicircle) என்பது ஒரு வட்டத்தில் பாதியளவு கொண்ட இருபரிமாண வடிவமாகும். 360° கொண்ட வட்டத்தில் பாதியாக அரைவட்டம் இருப்பதால், அரைவட்டத்தின் வில்லின் அளவு 180° அல்லது அரைத்திருப்பமாக இருக்கும். ஒரு அரைவட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட முக்கோணம் எப்பொழுதும் செங்கோண முக்கோணமாக அமையும்.                                 

கலைத்திட்ட வளர்ச்சி

கலைத்திட்டத்தின் மேம்பாடு என்பது கலைத்திட்டத்தை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு செயல்முறையாகும். கலைத்திட்டத்தை மேம்படுத்துவதில் பல்வேறு அணுகுமுறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் அணுகுமுறைகள் பகுப்பாய்வு (அதாவது தேவை பகுப்பாய்வு, பணி பகுப்பாய்வு), வடிவமைப்பு (அதாவது நோக்க வடிவமைப்பு), தேர்வு (அதாவது சரியான கற்றல் / கற்பித்தல் முறைகள் மற்றும் அதற்கான மதிப்பீட்டு முறையை தேர்ந்தெடுத்து) உருவாக்கம் (அதாவது பாடத்திட்டத்தை செயல்படுத்த குழு / பாடத்திட்ட மதிப்பீட்டுக் குழுவின் உருவாக்கம்) மற்றும் ஆய்வு (அதாவது கலைத்திட்ட மதிப்பாய்வு குழு).

1. பகுப்பாய்வு
2. வடிவமைப்பு
3. தேர்வு
4. உருவாக்கம்
5. மீள்பார்வை     

விட்டம்

ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் (diameter) என்பது வட்டத்தின் மேல், எதிரெதிரே உள்ள எந்த இரு புள்ளிகளையும் வட்டத்தின் மையப் புள்ளி வழியாக இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு ஆகும். விட்டம் என்பதை வட்டத்தின் மிக நீளமான நாண் எனவும் வரைவிலக்கணம் கூறலாம். ஒரு கோளத்தின் விட்டத்துக்கும் இதே வரைவிலக்கணம் பொருந்தும். விட்டம் என்ற சொல் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் நீளத்தையும் குறிக்கும். ஒரு வட்டத்தின் அனைத்து விட்டங்களும் ஒரே அளவுடையதாக இருக்கும். விட்டத்தின் அளவு வட்டத்தின் ஆரத்தின்இரு மடங்கு அளவாக இருக்கும்.

${\displaystyle d=2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

மேற்காட்டிய சமன்பாடுகளில் "d" விட்டத்தையும், "r" ஆரத்தையும் குறிக்கும்.

தாகூர் கல்வியியல் கல்லூரி-விளையாட்டு போட்டி

எங்கள் தாகூர் கல்வியியல்  கல்லூரியில் வருகின்ற 08-01-2018 to 13-01-2018  க்குள்  கல்லூரியில்  விளையாட்டு  போட்டிகள் நடத்துவதாக இன்று அறிவிக்கப்பட்டது .

விளையாட்டு  போட்டிகள்:

மாணவர்களுக்கு
     

1. 100 மீ ஓட்டப்பந்தயம்.
2. 400 மீ ஓட்டப்பந்தயம்.
3. 800 மீ ஓட்டப்பந்தயம்.
4. குண்டு எறிதல் 
5. ஈட்டி  எறிதல் 
6. நீளம் தாண்டுதல்.
7. அகலம் தாண்டுதல்.
8. 400 மீ -Relay

மாணவிகளுக்கு  

 

1. 100 மீ ஓட்டப்பந்தயம்.
2. 400 மீ ஓட்டப்பந்தயம்.
3. குண்டு எறிதல் 
4. ஈட்டி  எறிதல் 
5. நீளம் தாண்டுதல்.
6. அகலம் தாண்டுதல்.
7. 400 மீ -Relay

குறுக்குவெட்டி

ஒரே தளத்திலுள்ள இரு கோடுகளை, இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டும் கோடானது குறுக்குவெட்டி (transversal) ஆகும். குறுக்குவெட்டியைப் பயன்படுத்தி, யூக்ளிடிய தளத்தில் இரு கோடுகள் இணையானவையா என்பதை அறியலாம்.

இரு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டுக் கோடு வெட்டும்போது, உட்கோணங்கள், ஒத்த கோணங்கள், ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் என வெவ்வேறு வகையான சில கோணச் சோடிகள் உருவாகின்றன. யூக்ளிடின் இணை மெய்கோளின்படி குறுக்குவெட்டி சந்திக்கும் இரு கோடுகள் இணைகோடுகள் எனில், அங்கு உருவாகும் உட்கோணச் சோடிகள் மிகைநிரப்பிகளாகவும், ஒத்த கோணங்கள் சமமாகவும், ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமமாகவும் இருக்கும்.

காடு அழிப்பு

காடு  அழிப்பு 

             

காட்டு நிலங்களை, வேளாண்மை, நகராக்கம் போன்ற காடல்லாத நிலப் பயன்பாடுகளுக்கோ அல்லது அதன் வளங்களுக்காகக் காட்டை வெட்டி நிலத்தைத் தரிசாகவோ மாற்றுவதே காடழிப்பு என்பதன் முழுமையான பொருளாகும். முற்காலத்தில் காடழிப்பு, மேய்ச்சல் நிலங்களை உருவாக்குவதற்கு அல்லது வேளாண்மை நிலங்களை உருவாக்கும் நோக்கத்துடனேயே நடைபெற்றது. தொழிற் புரட்சிக்குப் பின்னர் நகராக்கமும்,காட்டு வளங்களின் சுரண்டலும், இத்துடன் சேர்ந்து கொண்டன. பொதுவாக, குறிப்பிடத்தக்க பரப்பளவு கொண்ட காடுகளை அழிப்பது, உயிரியற் பல்வகைமையைக் (biodiversity) குறைத்து, சூழலையும் தரம் குறைத்து விடுகிறது. வளர்ந்துவரும் நாடுகளில் பெருமளவில் காடழிப்பு இடம்பெற்று வருகிறது. உலக மக்கள் தொகையில் 16 சதவீதம் கொண்டுள்ள ஐரோப்பிய நாடுகள், ஜப்பான், மற்றும் வட அமெரிக்க நாடுகள் தொழில்துறையில் பயன்படுத்துகின்ற மரப்பொருடகளில் பாதியை இவை பயன்படுத்துகின்றன. இதுபுவியியல் மற்றும் காலநிலை சார்ந்த தாக்கங்களை ஏற்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது.

போதிய அளவு காடாக்க நடவடிக்கைகள் இன்றி மரங்கள் வெட்டப்படுவதாலேயே தாக்கங்கள் ஏற்படுவதாகக் கூறப்படுகிறது. காடாக்கம் நடைபெற்றாலும் குறிப்பிடத்தக்க அளவு உயிரியற் பல்வகைமைக் குறைவு ஏற்படும். வேண்டுமென்றே செய்யப்படும் காடழிப்பு ஒருபுறம் இருக்க, உணரப்படாமலே, மனிதச் செயற்பாடுகளால், காடழிப்பு இடம்பெறக்கூடிய வாய்ப்புக்கள் உள்ளன. எடுத்துக் காட்டாக, காட்டு நிலங்களில் கால்நடைகளை மேய்ச்சலுக்கு விடுவதன் மூலம் புதிய மரக்கன்றுகள் உருவாகாமல் தடுக்கப்படுவதால், இயற்கையான காட்டின் மீளுருவாக்கம் தடைப்பட்டு மெதுவான காடழிப்பு ஏற்படக்கூடும். இவற்றையும் விட இயற்கைச் சீற்றங்களும் காடழிப்புக்குக் காரணிகள் ஆகக் கூடும். திடீரென ஏற்படுகின்ற காட்டுத்தீ, பல ஆயிரம் ஏக்கர் பரப்பளவில் உள்ள காடுகளைச் சில நாட்களிலேயே அழித்து விடுகின்றன. மேய்ச்சலாலும், காட்டுத் தீயாலும் ஏற்படுகின்ற தாக்கங்களின் கூட்டு விளைவு, வறண்ட பகுதிகளின் காடழிப்புக்கு முதன்மைக் காரணிகளுள் ஒன்றாக இருக்கின்றது.

காடுகள் அழிவதால் ஏற்படுகின்ற நேரடித் தாக்கங்கள் ஒருபுறம் இருக்க, மறைமுகமான தாக்கங்களும் விரும்பத் தகாத விளைவுகளை ஏற்படுத்துகின்றன. விளிம்பு விளைவு (edge effects), வாழிடத் துண்டாக்கம்(habitat fragmentation) போன்றவை காடழிப்பின் விளைவுகளை மேலும் பெரிதாக்குகின்றன.

2011 ஆம் ஆண்டு உலகின் பாதிக்கும் மேற்பட்ட காடுகள் அழிக்கப்பட்டிருந்தன.வார்ப்புரு:Toc leftபெரும்பாலானவை முந்தைய 50 ஆண்டுகளில் அழிக்கபட்டவை ஆகும். உலகின் பாதிக்கும் மேற்பட்ட மழைக்காடுகள் 1990யிலிருந்து அழிந்து கொண்டு வருகின்றன. மேலும் உலகின் பாதிக்கும் மேற்பட்ட விலங்கினங்களும், தாவர இனங்களும் வெப்பமண்டல காடுகளில் வாழ்கின்றன.காடழிப்பு அல்லது காடு வெட்டுதல் என்பது ஒரு வனத்தையோ அல்லது வரிசையான மரங்களையோ வெட்டி, வெற்றிடம் உருவாக்கி அதை வனமல்லாத பயன்பாட்டிற்கு நிலத்தை கொண்டு வருவதாகவும்.^[2]காடழிப்பினால் வனங்கள் பண்ணைகளாகவும் கால்நடை வளர்ப்பு பண்ணைகளாகவும், நகர்ப்புறமாகவும் மாற்றப்படுகின்றன.

காடழிப்பு என்பது ஒரு பகுதியில் உள்ள அனைத்து மரங்களை அகற்றும் நடவடிக்கையை விவரிக்க தவறாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மிதமான தட்ப வெப்பத்தை உடைய பகுதிகளில் நிலையான வனவியல் நடைமுறைகளுக்கு இணங்க மீளுருவாக்கத்திற்காக அனைத்து மரங்களையும் அகற்றுவது இழப்பு மீட்பு அறுவடை என விவரிக்கபடுகிறது. இடையூறுகள் இல்லாத நிலையில் காட்டின் இயற்கை மீளுருவாக்கம் பெரும்பாலும் ஏற்படாது.

காடழிப்பு பல காரணங்களால் ஏற்படும்: மரங்கள் எரிபொருள் பயன்பாடிற்காகவும்(சில நேரங்களில் கரி வடிவில்), விற்பனைக்காகவும் மரத்துண்டுகளுக்காகவும் வெட்டப்படுகின்றன. வெற்றிடங்கள் கால்நடைகளுக்கான மேய்ச்சல் நிலம், விளை பொருள் தோட்டங்கள் மற்றும் குடியேற்றங்களாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. காடுகளை மீண்டும் வளர்க்காமல் மரங்களை அகற்றுவது வாழ்விட சேதம், பல்லுயிர் இழப்பு மற்றும் வறண்ட நிலம் முதலியவற்றை ஏற்படுத்தும். இது வளிமண்டல கரியமில வாயுவை நீக்காமல் எதிர்மறையான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும். போரில் எதிரி படைகளுக்கு வள ஆதாரங்கள் பயன்படாமல் இருப்பதற்காகபவும் காடுகள் அழிக்கப்படுகின்றன. வியட்நாம் போரின் போது வியட்நாமில் அமெரிக்க இராணுவம் எஜென்ட் ஆரஞ்சு என்ற தாவர கொல்லிகளை பயன்படுத்தியது காடழிப்பிற்கு நவீன எடுத்துக்காட்டு ஆகும். காடழிப்பு ஏற்பட்ட இடங்களில் குறிப்பிடத்தக்க எதிர்மறையான மண் அரிப்பு நேர்வதுடன் விளை நிலம் தரிசு நிலமாக தரங்குறைந்து விடுகிறது.