பின்னம்

பின்னம்:

பின்னம் (fraction) என்பது முழுப்பொருள் ஒன்றின் பகுதி அல்லது பகுதிகளைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளை நான்கு சமப் பங்குகளாகப் பிரித்தால், அதில் 3 பங்குகள் (அதாவது நான்கில் மூன்று பங்கு) 3/4 எனக் குறிக்கப்படும்.

பின்ன அமைப்பில், கிடைக்கோட்டிற்குக் கீழுள்ள எண் பகுதி எனவும் மேலுள்ள எண் தொகுதி எனவும் அழைக்கப்படும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் சம பங்குகளின் எண்ணிக்கையைத் தொகுதியும், எத்தனை சம பங்குகள் சேர்ந்து முழுப்பொருளாகும் என்பதைப் பகுதியும் குறிக்கின்றன. ஒரு பின்னத்தின் பகுதி பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு முழுப்பொருளானது நான்கு சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அதிலுள்ள மூன்று சம பங்குகள் 3/4 எனக் குறிக்கப்படும். இப்பின்னத்தின் தொகுதி - 3, பகுதி - 4.

பின்னமானது பிள்வம் அல்லது பிள்ளம் என்றும் அழைக்கப்படும். தமிழில் இதற்கு கீழ்வாய் எண்கள் என்பது பெயர்.

பின்ன எண்களை தொகுதி-பகுதி வடிவில் மட்டுமல்லாது, தசம பின்னங்களாக, சதவீதங்களாக, எதிர்ம அடுக்கேற்ற எண்களாக எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

1/100 என்ற பின்ன எண்ணின் மாற்று வடிவங்கள்: 0.01, 1%, 10⁻²

எந்தவொரு முழுஎண்ணையும், பகுதி 1 ஆகக் கொண்ட பின்னமாகக் கொள்ளலாம்: 7 = 7/1                           .

விகிதமுறு எண்கள்

விகிதமுறு எண்கள்

கணிதத்தில் இரண்டு முழுஎண்களின் விகிதமாக எழுதப்படக்கூடிய எல்லா எண்களும் விகிதமுறு எண்கள் எனப்பெயர் பெறும். ஆக, முழு எண்களும் விகிதமுறு எண்கள்தாம்; ஏனென்றால் ஒவ்வொரு முழுஎண் ${\displaystyle n}$ ஐயும் ${\displaystyle n/1}$ என்று எழுதலாம். 2/3, 355/113, -1/2 இவையெல்லாம் முழுஎண்களல்லாத விகிதமுறு எண்கள்.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ என்று எழுதப்படும்போது, b சூனியமாக இருக்கக்கூடாது. ஏனென்றால் சூனியத்தால் வகுப்பதென்பது கணிதத்தின் விதிகளுக்குப் புறம்பான செயல்.

ஒரு விகிதமுறு எண்ணை பலவிதங்களில் விகிதமுறையில் சொல்லலாம். எ.கா.:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {4}{6}}={\frac {100}{300}}={\frac {2a}{3a}}.}$ இங்கு ${\displaystyle a}$ என்பது ஏதாவது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கலாம்.

எல்லா விகிதமுறு எண்களின் கணத்தை ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். அதாவது

${\displaystyle \mathbf {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a\in \mathbf {Z} ,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\}}$. இங்கு ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ என்பது எல்லா முழு எண்களின் கணம்.

பகா எண்

பகா எண்

பகா எண் என்பது 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு நேர் வகுத்திகள் இல்லாத, 1 ஐ விடப் பெரிய இயல் எண்ணாகும். 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு வகுத்திகள் கொண்ட பிற இயல் எண்கள் (1 நீங்கலாக) கலப்பெண்கள் (composite numbers) என அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, இயல் எண் 11 ஒரு பகா எண். அதற்கு 1 ஐத் தவிர வேறு வகுத்திகள் இல்லை. இயல் எண் 6 ஒரு கலப்பெண். ஏனெனில் இதன் வகுத்திகள்: 1, 2, 3, 6. கணிதத்தில் மட்டுமல்லாது, அறிவியலைச் சார்ந்த மிகப்பல பிரிவுகளிலும், பகா எண் என்ற கருத்து எண்களைப் பற்றிய பற்பல உறவுகளில் பங்களிக்கிறது. எண் கோட்பாட்டில் பகா எண் முக்கிய பங்குவகிக்கிறது. எண்கள் தோன்றிய காலத்திலிருந்தே பகா எண் என்ற கருத்துள்ள பெயர் இருந்திருக்காவிட்டாலும், கருத்தளவில் அது மனிதனின் எண்ணத்தில் தோன்றியிருக்க வேண்டும் என்றும், அத்தோன்றலே அறிவியலின் தொடக்கம் என்ற கருத்தும் உள்ளது. பகா எண்களைப் பற்றிச் சில கருத்துக்கள் ஆய்வு செய்யப்பட முடியாமலே பல நூற்றாண்டுகள் சென்றபிறகு, தற்காலத்தில் கணினிகளின் உதவியால் அவை மீண்டும் பெரிய அளவிலே ஆய்வு செய்யப்பட்டு வெற்றியும் தந்து கொண்டிருக்கின்றது.

சிக்கலெண்கள்

சிக்கலெண்கள்

இதற்குமேலுள்ள எண்கணங்களெல்லாம் கணித இயலர்களின் படைப்புகளே. எடுத்துக்காட்டாக, செறிவெண்கள்(பலக்கெண், அல்லது சிக்கலெண் என்னும் ஒருவகை எண்களுக்குக் கணிதத்திலும் அதன் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் முக்கிய இடமுண்டு. சிக்கலெண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbf {C} }$ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணிலும் ஒரு உள்ளகப் பகுதியும் (மெய்ப்பகுதி) ஒரு அமைகணப் பகுதியும் (கற்பனைப் பகுதி) உண்டு.

${\displaystyle \mathbf {C} }$ இலுள்ள ஒவ்வொரு எண் z ம் a + ib என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு a யும் b யும் மெய்யெண்கள். a க்கு z இன்உள்ளகப் பகுதி அல்லது மெய்ப்பகுதி என்றும் b க்கு z இன் அமைகணப் பகுதி அல்லது கற்பனைப் பகுதி என்றும் பெயர். இதில், i என்பது கற்பனை அலகு ஆகும்.

இவ்வெண் வகைகளின் தொடர்பு கீழே காட்டியவாறு உள்ளது:

${\displaystyle \mathbf {N} \subset \mathbf {Z} \subset \mathbf {Q} \subset \mathbf {R} \subset \mathbf {C} }$

மெய்யெண்கள்

மெய்யெண்கள்

எல்லா எண்களும் விகிதமுறு எண்களல்ல என்பது ${\displaystyle \surd {2}}$ முதலிய எண்களின் உதாரணம் கொண்டு கணித ஆய்வாளர்கள்கிரேக்க கணிதகாலத்திலிருந்தும், இந்துக்களின் சுல்வசூத்திரங்களிலிருந்தும் தெரிந்து வைத்திருந்தனர். ஆனால் ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ என்ற விகிதமுறு எண்கள் கணத்தையும் உள்ளடக்கி ஒரு மிகப்பெரிய எண்கணம் ${\displaystyle \mathbf {R} }$ என்பதொன்று உண்டென்றும் அதுதான் நாம் வாழ்க்கையில் சந்திக்கும் எல்லா எண்களையும் உள்ளடக்கியது என்றும் மனிதன் ஐயமறத் தெரிந்துகொள்வதற்கு 19வதுநூற்றாண்டு வரையில் காத்திருக்கவேண்டியதாயிற்று.

${\displaystyle \mathbf {R} }$ என்றகணத்தின் உறுப்புகளுக்கு மெய் எண்கள் என்றும், உள்ளது உள்ளபடி இருப்பதால் உள்ளக எண்கள் என்றும் பெயர்கள் உண்டு. இதனில், விகிதமுறு எண்களை எடுத்துவிட்டால், இதர எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் எனப்படும். விகிதமுறா எண்கள் இரண்டு வகைப்படும்: இயற்கணித எண்கள், விஞ்சிய எண்கள்.

சாய்சதுரம்

சாய்சதுரம்

சாய்சதுரம் (rhombus) என்பது எளிய பல்கோணம் (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாது). அதன் நான்கு பக்கமும் சம அளவில் கொண்டுள்ளது. இதனை சமபக்க நாற்கரம் என்றும் அழைப்பார்கள். இதனைச் சிலர் வைரம் என்று அழைப்பார்கள் ஏனெனில், இது சீட்டுக்கட்டிலுள்ள டயமண்ட் போன்று இருப்பதால் அவ்வாறு அழைப்பார்கள். இந்த வடிவம் எண்முக முக்கோணகத்தின் அல்லது லோஜெங்கேயின் முன்னிருத்தலைப் போன்றுள்ளது. எண்முக முக்கோணகத்தின் 60°யிலும் லோஜெங்கேயின் 45° யிலும், ஒரு சாய்சதுரத்தையும் காணலாம்.

அனைத்து சாய்சதுரமும் இணைகரம் மற்றும் பட்டமே. எல்லா கோணங்களையும் செங்கோணமாகக் கொண்ட சாய்சதுரம் சதுரம் ஆகும். 

                               

பண்புகள்:

• நான்கு சமபக்கங்களைக் கொண்ட நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்.
• இரண்டு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றை ஒன்று செங்குத்தாக இருகூறாக வெட்டும் நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்
• எதிர் எதிர் உள்கோணங்களை இருகூறாகவெட்டும் மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்.
• உள்கோணங்களை இருகூறாக்கும் மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும்.
• அடுத்தடுத்த இரு பக்கங்களும் சமமான அளவைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும்.
• செங்குத்தான இரு மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும். ( செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்).

இணைகோடுகள்

இணை கோடுகள்

இணை (parallel) என்ற கருத்து, கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான வடிவவியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது யூக்ளிடிய வெளியில் அமையும் இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட கோடுகள் மற்றும் தளங்களின் பண்பினைக் குறிக்கும். இணைகோடுகளும் அவற்றின் பண்புகளும் யூக்ளிடின் இணைஅடிக்கோளுக்கு அடிப்படையாக அமைகின்றன. ஒரு தளத்தில் அமையும் இரு கோடுகள் ஒன்றையொன்று சந்திக்காமலோ அல்லது வெட்டிக் கொள்ளாமலோ இருந்தால் அவை இணைகோடுகள் எனப்படுகின்றன.

குறுக்கு வெட்டி:

யூக்ளிடிய வெளியில், l மற்றும் m என்ற இருகோடுகளில், m ஆனது l க்கு இணையாக அமைவதை பின்வரும் விளக்கங்களால் வரையறுக்கலாம்.

${\displaystyle l\parallel m}$ எனில்,

1. கோடு m மீது உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் கோடு l லிருந்து சமதூரத்தில் அமைகின்றன (சமதூரக் கோடுகள்).
2. கோடுகள் m மற்றும் l இரண்டும் ஒரே தளத்திலேயே உள்ளன. ஆனால் m கோடு l ஐ வெட்டுவதில்லை (இருகோடுகளும் இருதிசைகளிலும் முடிவில்லாமல் நீட்டிக்கப்படுவதாக எடுத்துக் கொண்டாலும்).
3. கோடுகள் m மற்றும் l இரண்டும் அதே தளத்தில் உள்ள மற்றொரு கோட்டால் (குறுக்கு வெட்டி) வெட்டப்படும்போது ஏற்படும் ஒத்த வெட்டுக் கோணங்கள் சமமாக அமைகின்றன.