சமானவிகிதம்

சமானவிகிதம்

     ஓர் ஆப்பிள் பழத்தை  எட்டு  சமபாகங்களாக பிரித்து அதில் 2 பங்கை ராஜாவுக்கும் , 6 பங்கை வினோத்துக்கும் கொடுத்து பங்கிடலாம். எனவே இருவருக்கிடையேயான விகிதம் 2:6 ஆகும்.

      

2:6 என்ற விகிதத்தை 2/6 என எழுதலாம்.2/6=1/3.

2/6 மற்றும் 1/3 ஆகியவை சமான பின்னங்கள் என்பது நமக்கு தெரியும்.இதைப்போன்று  2:6 மற்றும் 1:3 ஆகியவற்றை சமான விகிதங்கள் எனலாம்.

а : b என்று கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்திலிருந்து, а மற்றும்  b என்ற உறுப்புகளை புஜ்ஜியமில்லாத என்னால் பெருக்க, சமண விகிதங்கள் கிடைக்கும்.

எ .கா ;

                 1:2 = 2:4 = 3:6

                 3:5 = 9:15 =12:20

இவற்றை மாணவர்களுக்கு  நடத்தினேன். 

விகிதம்

விகிதம் (Ratio) 

விகிதம்என்பது இரண்டு எண்களுக்கு இடையில் உள்ள உறவினை குறிக்கும். இது பெரும்பாலும் முழு எண்களாக எழுதப்படும். விகிதத்தில் குறிப்பிடும் இரண்டு எண்களும் ஒரே வகையானதாக இருக்க வேண்டும். விகிதங்களுக்கு அலகில்லை. a, b இரண்டு எண்களின் விகிதத்தை a:b எனக் குறிப்பர். a முகப்பெண் எனவும், bபின்னுறுப்பு எனவும் அழைக்கப்படும். விகிதத்தில் வரிசை முக்கியமானது. a:b ≠ b:a. சில நேரங்களில் விகிதமானது பரிமாணமில்லாத வகுத்தல் ஈவாக குறிப்பிடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு பழக் கிண்ணத்தில் எட்டு ஆரஞ்சுகளும் ஆறு எலுமிச்சம் பழங்களும் உள்ளன எனில்: *ஆரஞ்சுக்கும் எலுமிச்சம் பழத்திற்குமுள்ள விகிதம் 8:6 (4:3)

• எலுமிச்சம் பழங்களுக்கும் ஆரஞ்சுக்குமுள்ள விகிதம் 6:8 (3:4)
• ஆரஞ்சுக்கும் கிண்ணத்திலுள்ள மொத்த பழங்களுக்குமான விகிதம் 8:14 (4:7)

• எலுமிச்சைக்கும் மொத்த பழங்களுக்குமான விகிதம் 6:14 (3:7)

விகிதத்தை பற்றி 6ம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு கூறினேன்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் மாற்று வடிவம்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் மாற்று வடிவம்

சில சூழ்நிலைகளில் மூலங்களை மாற்று வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம்.

இந்த மாற்று வடிவத்தில் மாறிலி c ≠ 0 ஆக இருக்க வேண்டும்; c =0 எனில், இவ்வாய்பாடு பூஜ்ஜியத்தை ஒரு மூலமாக கொடுக்கும், ஆனால் எந்த இரண்டாவது, பூஜ்ஜியமில்லா மூலங்களை கொடுக்காது. மாறாக, ∓ -ன் இரண்டில் ஒன்று வரையறுக்கப்படாத மற்றும் தேறப்பெறாத 0 / 0 படிவத்தை உருவாக்கும். எனினும், a = 0 என்ற நிலையில் இவ்வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்(இந்நிலையில் ஒரு மூலத்தைத் தனிப்பட்ட தீர்வு வாயிலாகவும் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட மற்றொரு மூலத்த்தையும் தரும்). இது சாதரண வடிவச் சமன்பாடு மூலம் கிடைக்காது. (அதற்குப் பதிலாக இரு முறையும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட மூலமே கிடைக்கும்).

இரு முறைகளிலும் மூலங்கள் ஒன்றே. மாற்று வடிவம் மாற்று இயற்கணிதத்தின் ஒரு பொதுவான வடிவமாகும்.

ஏதேனும் ஒரு மூலம் மற்றொரு மூலத்தை விட தனிப்பருமனில்(absolute magnitude) சிறியதாக இருப்பின், இம்மாற்றுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எண் மதிப்பீடு முறையின் மூலம் துல்லியமான மூல மதிப்பினைக் காணலாம். இம்முறையில், b யின் மதிப்பு  -க்கு மிக அருகில் உள்ளது. மேலும் தொகுதியில் உள்ள கழித்தல் மூலம் முக்கியத்துவ இழப்பு ஏற்படுகிறது.

ஒரு கலவையான அணுகுமுறை வழியாக அனைத்து ரத்து பிரச்சினைகள் (ஒரே குறி உடைய எண்களின் கூட்டல் மட்டுமே), மற்றும் c = 0 என்ற இரண்டு பிரச்சினைகளை தவிர்க்கலாம்.

இருபடி வாய்ப்பாடு காணும் முறை

இருபடி வாய்ப்பாடு காணும் முறை

வர்க்க நிரப்பி முறை

 என்ற இயற்கணித வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வர்க்க நிரப்பி முறையில் இருபடிச் வாய்ப்பாட்டைக் காணலாம்.

இச்சமன்பாட்டை a -ஆல் வகுக்க, (a பூச்சியமல்லாததால் வகுத்தல் சாத்தியம்.)

அல்லது

, பயன்படுத்த:

வலதுபுறத்தில் பொதுவகுத்தியாக 4a² -ஐக் கொள்ள:

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

ax² -க்கு நகர்த்தும் முறை

ax² என்ற பரவளையத்தைக் குறிக்கிறது. என்ற சமன்பாடு, ஆதியிலிருந்து (x_V, y_V) புள்ளிக்கு நகர்த்தப்பட்ட

இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க:

வியட்டாவின் வாய்ப்பாட்டின்படி உச்சிப் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்:

• x_V மற்றும் y_V மதிப்புகளைக் காணல்:

மற்றும்

 என்ற இருசமன்பாடுகளைக் எடுத்துக் கொள்க.

இரண்டாவது சமன்பாட்டை

 என மாற்றிக் கொள்ள வேண்டும்.

இப்பொழுது இரு சமன்பாடுகளின் ஒத்த கெழுக்களை ஒப்பிட,

இவற்றிலிருந்து x_V மற்றும் y_V -ன் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

Quadratic equation

 இருபடிச் சமன்பாடு

இருபடிச் சமன்பாடு (Quadratic equation) என்பது ஒரு இருபடிப்பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும். இதன் பொது வடிவம்:

இங்கு  ஒரு மாறி. a, b, மற்றும் c மாறிலிகள். மேலும் a ≠ 0. ஏனெனில் a = 0 -ஆக இருந்தால் இச்சமன்பாடு, ஒருபடிச் சமன்பாடாகிவிடும்.

மாறிலிகள் a, b, மற்றும் c, முறையே இருபடிக் கெழு, ஒருபடிக் கெழு மற்றும் மாறியைச் சாரா உறுப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. "quadratic" என்ற வார்த்தை சதுரத்தைக்குறிக்கும் இலத்தீன் மொழிச் சொல்லான quadratus, என்பதிலிருந்து பிறந்ததாகும். இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காரணிப்படுத்துதல், வர்க்க நிரப்பி முறை, வரைபடம்,நியூட்டன் முறை மற்றும் இருபடி வாய்ப்பாடு ஆகிய வழிகளில் தீர்க்கலாம்.

.

இருபடி வாய்ப்பாடு

மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் கெழுக்களைக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மூலங்களென அழைக்கப்படும் இரு தீர்வுகள் உண்டு. இவ்விரண்டு தீர்வுகளும் வெவ்வேறானவையாக இல்லாமல் இருக்கலாம். மேலும் அவையிரண்டும் மெய்யெண்களாகவோ அல்லது மெய்யெண்களாக இல்லாமலோ இருக்கலாம்.

மூலங்களைக் காணும் இருபடி வாய்ப்பாடு:

இங்கு "±" குறியீடானது,

இரண்டுமே சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் என்பதைக் காட்டுகிறது.

அடிப்படை இயற்கணிதம்

அடிப்படை இயற்கணிதம் (elementary algebra) என்பது இயற்கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவு. இது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துருக்களை விவரிக்கிறது. எண்கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதம் இரண்டிற்குமுள்ள முக்கிய வேறுபாடு, இயற்கணிதத்தில் கையாளப்படும் மாறிகள்தான். எண்கணிதத்தில் எண்கள் மற்றும் அவற்றைக் கொண்டு செய்யப்படும் அடிப்படைச் செயல்களான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகியவை குறித்த கருத்துக்கள் விவரிக்கப்படுகின்றன. அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் x மற்றும் y போன்ற மாறிகளும், எண்களுக்குப் பதில் a மற்றும் b போன்ற மாறிலிகளும் பயன்படுத்தப்பட்டு கணிதச் செயல்கள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. மாறிகளை உபயோகித்து நுண்மமாக (abstract) சிந்தித்து செய்யப்படும் கணிப்புக்களை அடிப்படை இயற்கணிதம் கொண்டுள்ளது. இக்கணிதப் பிரிவை அடிப்படை அட்சர கணிதம் அல்லது அடிப்படை குறுக்கணக்கியல் என்றும் குறிப்பிடுவதுண்டு. பொதுவாக, மாணவர்கள் முதலில் எண்கணிதம் கற்று, பின்னர் இயற்கணிதத்தின் மூலம் மேலும் நுண்மமாகச் சிந்திக்க உந்தப்படுகின்றார்கள். இயற்கணிதத்தில் சமன்பாடுகள் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. இயற்கணிதத்தின் சிறப்புக்கூறுகள் மாறிகள் இயற்கணிதத்தில் ஓர் எண்ணுக்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தப்படும் எழுத்து அல்லது குறியீடு மாறி என அழைக்கப்படுகிறது.[1]கணிதச் செயல்முறைகளை விதிகளாக பொதுமைப்படுத்துவதற்கு மாறிகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக உள்ளன: கணிதச் சமன்பாடுகளையும் அசமன்பாடுகளையும் விதிகளாக மாற்றுவதற்கு மாறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டு: 2+3=3+2 (-5)+(7)=(7)+(-5). அதாவது இரு முழு எண்களைக் கூட்டும் போது வரிசை மாற்றி செயல்பட்டாலும் இறுதி மதிப்பு மாறுவதில்லை. இதனை முழு எண்களின் பரிமாற்று விதியாகப் பின்வருமாறு தரலாம். அனைத்து a மற்றும் b எனும் முழு எண்களுக்கு: {\displaystyle a+b=b+a\,} இது முழு எண்களுக்கு மட்டுமல்லாமல் மெய்யெண்களுக்கும் பொருந்தும். மாறிகளைப் பயன்படுத்தி செயல்முறைகளை விதிகளாக எழுதும் முறை, மெய்யெண்கள் கணத்தின் பண்புகளைப் பற்றிய அறிதலுக்கு முதல்படியாக அமைகிறது. மதிப்பு அறியப்படாத கணியங்களைக் குறிக்க மாறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு கணக்கில் மதிப்புத் தரப்படாத ஒரு கணியத்தினை ஒரு மாறியால் குறித்துக் கொண்டு சமன்பாடுகளை அமைத்து, அவற்றைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அம்மாறியின் அதாவது அது குறிக்கும் கணியத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடலாம். எளிய எடுத்துக்காட்டு: இரு முழு எண்களின் கூடுதல் 11. அவற்றின் வித்தியாசம் 5 எனில் அவ்விரு எண்களைக்காண: இரு எண்கள்: x, y என்க. தரவினைக் கொண்டு அமைக்கப்படும் சமன்பாடுகள்: {x+y=11\\x-y=5} கீழே உள்ள ஒருபடிச் சமன்பாடுகளின் தொகுதி பிரிவில் தரப்பட்டுள்ளபடி இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து வேண்டிய இரு எண்கள் 8, 3 என்பதைக் கணக்கிடலாம். இது ஒரு எளிய கணக்கு. இவ்வாறு சமன்பாடுகள் அமைத்துத் தீர்வு காணும் முறையில் மேலும் சிக்கலான கணக்குகளுக்கும் எளிதாக விடை காண முடியும். கணியங்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகளை அமைக்கவும் ஆய்வு செய்யவும் மாறிகள் பயன்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டு: ஒருவர் x புத்தகங்கள் விற்றால் அவருக்குக் கிடைக்கும் லாபம்: 3x − 10 ரூபாய். கோவைகள் அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் கோவை என்பது எண்கள் மற்றும் மாறிகளால் அமைந்த உறுப்புகளைக் கணித அடிப்படைச் செயல்களைக் கொண்டு இணைக்கப்பட்ட ஒரு அமைப்பு. கோவைகளின் இடப்பக்கத்தின் முதல் உறுப்பாக அதிக அடுக்குள்ள உறுப்பு எழுதப்படுவது வழக்கம்: . செயல்கள் எண் கணிதத்தில் உள்ளதுபோல அடிப்படை இயற்கணித்திலும் அடிப்படைச் செயல்களான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. கூட்டல்: ஒன்றுகளின் மீள்கூட்டலைக் குறிக்கும்: a + n = a + 1 + 1 +...+ 1 (n தடவைகள்); கூட்டலின் எதிர்ச் செயல் கழித்தல்: (a + b) − b = a (அல்லது) a − b = a + (−b); பெருக்கல்: மீள்கூட்டலைக் குறிக்கிறது: a × n = a + a +...+ a (n தடவைகள்); பெருக்கலின் எதிர்ச் செயல் வகுத்தல் (பூச்சியமற்ற எண்களுக்கு மட்டும்): (ab)/b = a, (அல்லது) a/b = a(1/b); கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்புடையது: (a + b)c = ac + bc; பெருக்கலைச் சுருக்கமாக எழுதுதல்: a × b ≡ ab; அடுக்கேற்றம்: மீள்பெருக்கலைக் குறிக்கும்: an = a × a ×...× a (n தடவைகள்); அடுக்கேற்றத்தின் எதிர்ச் செயல் மடக்கை காணல்: alogab = b = logaab; பெருக்கலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்புடையது: (ab)c = acbc; n-ம் படி மூலங்கள் வாயிலாக எழுதலாம்: am/n ≡ (n√a)m எதிர் எண்களுக்கு இரட்டை மூலங்கள் மெய்யெண்களில் கிடையாது. பண்பு: abac = ab + c; பண்பு: (ab)c = abc. பொதுவாக: ab ≠ ba மற்றும் (ab)c ≠ a(bc);

கவிதை-மலர்ந்து கொண்டே வளரும் நட்பு

மலர்ந்து கொண்டே வளரும் நட்பு

கார்த்திகை கண்டெடுத்த 
கார்முகில் நாயகனே... 
கடவுள் எனக்களித்த 
கலியுக கர்ணனே... 

இடுக்கண் கலைவதாம் நட்பு 
இதற்கு இலக்கணம் நீயானாய்..! 
இதயத்தில் எனை சுமக்கும் 
நீ இன்னொரு தாயானாய்..! 

இன்னல்களில் இடிதாங்கியாய் 
இன்றுவரை சுமைதாங்கியாய் 
கஷ்டத்தில் கடன் தந்தாய்..! 
கடைசிவரை உடன் வந்தாய்..! 

நிழலாக எனை தொடரும் 
நிஜமானதே உன் அன்பு..! 
நினைவுகள் அனைத்தும் சொல்லிவிடும் 
நீதானே என் தெம்பு..! 

கேலி கிண்டல் நான் செய்தால் 
போலி கோபம் நீ செய்வாய்... 
வேலி தாண்டும் ஆடு என்றும் 
வெளிச்சம் குறைந்தால் வீடு தேடுமே..! 

சிரித்தே அழுத நினைவுகள் எல்லாம் 
சிறகு விரிக்குதே இன்னும் நெஞ்சில் 
மரித்து போகும் நிமிடம் வரையிலும் 
மலர்ந்து கொண்டே நட்பு வளருமே..! 

மரித்து போகும் நிமிடம் வரையிலும் 
மலர்ந்து கொண்டே நட்பு வளருமே..!!!