கோணங்கள்

கோணம்:  

ஒரே புள்ளியில் இருந்து கிளம்பும் இரண்டு கதிர்கள் உருவாக்கும் வடிவம் கோணம் (Angle) எனப்படுகிறது^[1]. வெட்டிக்கொள்ளும் இரண்டு கோடுகளின் சாய்வுகளின் வித்தியாசம் காண கோணம் உதவுகிறது. கோணங்களை அளக்கும் அலகுகளுள் பாகை ஒரு வகையாகும். இதன் குறியீடு °.

                                  

 கோணத்தின் வகைகள் :

செங்கோணம், குறுங்கோணம், விரிகோணம், நேர்கோணம், சாய்வுக் கோணம், பின்வளைகோணம் 

பூஜ்ஜிய கோணம்

ஒரே புள்ளியில் ஆரம்பிக்கும் இரு கதிர்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் 0 பாகை எனில் அக்கோணம் பூஜ்ஜிய கோணம் எனப்படும்.

செங்கோணம்:
90 பாகை அளவுள்ள கோணம், செங்கோணம் எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றது. இரு நேர்கோடுகள் ஒன்றோடு ஒன்று முட்டும்போது அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் சரியாக 90 பாகையாக இருந்தால் அது செங்கோணம் எனப்படும்.

                                             

சதுரம்

சதுரம்

சதுரம், கேத்திரகணித அடிப்படை வடிவங்களில் ஒன்று. இது, நான்கு உச்சிகளையும், சம அளவிலான நான்குகோட்டுத்துண்டுகளை பக்கங்களாகவும் கொண்ட, ஒரு இரு பரிமாண உருவமாகும். சதுரம் ஓர் ஒழுங்கு நாற்கரம்ஆகும்.

ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் ஒரு பக்க அளவின் வர்க்கத் தொகையால் தரப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு, ஒரு சதுரத்தின் பக்க அளவு 5 மீட்டர் என்றால், அதன் பரப்பளவு 5 x 5 = 25 சதுர மீட்டர் ஆகும். 5 மீட்டர் பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தை 1 மீட்டர் பக்க நீளமுள்ள சிறுசிறு சதுரங்களாகப் பிரித்தால் மொத்தம் 25 சிறு சதுரங்கள் கிடைக்கின்றன.

பொதுவாகச் சதுரத்தின் பரப்பு a எனில்:

${\displaystyle A=a^{2}.}$

சதுரத்தின் பண்புகள்

சதுரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணையாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.
சதுரம் என்பது சாய்சதுரம், இணைகரம், நாற்கரம் மற்றும் செவ்வகம் ஆகியவற்றின் சிறப்பு வகையாகும். எனவே இவ்வடிவவியல் வடிவங்களின் பண்புகள் சதுரத்திற்கும் உண்டு:

1. சதுரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணையாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.
2. சதுரத்தின் நான்கு கோணங்களும் சமம். (ஒவ்வொன்றும் 360°/4 = 90° க்குச் சமம்.)
3. சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் சமம்.
4. இரு மூலைவிட்டங்களும் சம நீளமுள்ளவை.
5. சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும். மேலும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும்.
6. சதுரத்தின் கோணங்களை அதன் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.

கோணஇருசமவெட்டி தேற்றம் -நிரூபணம்

கோணஇருசமவெட்டி -தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது, அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

நிரூபணம் :

                                           

• , ${\displaystyle \triangle ABD}$ மற்றும் ${\displaystyle \triangle ACD}$ முக்கோணங்களுக்கு சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}$ ..... (சமன்பாடு 1)

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}$ ..... (சமன்பாடு 2)

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BDA}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle ADC}$ இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் சைன் மதிப்புகள் சமம்.

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BAD}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle DAC}$ இரண்டும் சமமானவை.
• எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}}}$

எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle \ AD}$ கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BAD}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle DAC}$ இரண்டும் சமமில்லை.

• சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA}}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}}$

கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BDA}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle ADC}$ இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC}}$

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.

கோணத்தின் இருசமவெட்டி தேற்றம்

கோணத்தின் இருசமவெட்டி தேற்றம் 

ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது, அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

அதாவது முக்கோணம் ${\displaystyle \triangle ABC}$ -ஐ எடுத்துக் கொள்க.

• ${\displaystyle \angle A}$ -ன் இருசமவெட்டி, ${\displaystyle \ BC}$ பக்கத்தை ${\displaystyle \ D}$ புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
• கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள் ${\displaystyle \ BD}$ மற்றும் ${\displaystyle \ DC}$ -ன் விகிதமானது, ${\displaystyle \ AB}$ மற்றும் ${\displaystyle \ AC}$ பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}$

• பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, ${\displaystyle \ D}$ புள்ளியானது பக்கம் ${\displaystyle \ BC}$ -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}$

• இதிலிருந்து, கோணம் ${\displaystyle \angle BAC}$ -ன் இருசமவெட்டியாக, ${\displaystyle \ AD}$ இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.

இருசமபக்க முக்கோணம்

இருசமபக்க முக்கோணம்

                 இருசமபக்க முக்கோணம் (isosceles triangle) என்பது மூன்று பக்கங்களில் எவையேனும் இரண்டு பக்கங்கள் சமநீளமுள்ளவையாகக் கொண்ட முக்கோணமாகும். ஒரு முக்கோணம் இருசமபக்க முக்கோணமாக இருப்பதற்கு அதன் இரண்டு பக்கங்கள் மட்டும் சமநீளமானவையாக இருந்தால் போதுமானது. முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் சமநீளமானவையாக இருந்தால் அம்முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணம் ஆகும். எனவே இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சிறப்புவகையாக, சமபக்க முக்கோணத்தக் கருதலாம்.

இருசமபக்க முக்கோணத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தில் சமபக்கங்கள் இரண்டிற்கும் எதிரே அமையும் இரு கோணங்களின் அளவுகளும் சமமாகும். ஸ்டெயினர்-லெமசு தேற்றத்தின்படி, முக்கோணத்தின் இரண்டு கோண இருசமவெட்டிகள் சமநீளமுள்ளவையாக இருந்தால், அம்முக்கோணமானது இருசமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.

கோண இருசமவெட்டி

கோண இருசமவெட்டி

ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தைச் சம அளவுள்ள இரு கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது. கோண இருசமவெட்டியின் மீது அமையும் புள்ளிகள், கோணத்தின் இரு கரங்களிலிருந்தும் சம தூரத்தில் இருக்கும்.

உட்கோண இருசமவெட்டி என்பது, 180° -க்குக் குறைவான அளவுள்ள ஒரு கோணத்தை இரு சமமான கோணங்களாகப் பிரிக்கும் கதிராகும்.(ray of a line)

வெளிக்கோண இருசமவெட்டி என்பது, அக்கோணத்தின் எதிர் கோணத்தை (180° -க்கு அதிகமான கோணம்) இருசமமான கோணங்களாகப் பிரிக்கும் கதிராகும்.

கோணத்தை இருசமக்கூறிடல்(நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயம் கொண்டு):

• கோணத்தின் உச்சியை மையமாகக் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைதல் வேண்டும்.
• இந்த வட்டம் கோணத்தின் கரங்கள் ஒவ்வொன்றையும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும்.
• இந்த இரு புள்ளிகளையும் மையமாக வைத்து சமமான ஆரத்தில் இரு வட்டங்கள் வரைய வேண்டும்.
• இவ்விரு வட்டங்களும் வெட்டும் இரண்டு புள்ளிகள் தீர்மானிக்கும் கோடு, கோண இரு சமவெட்டி ஆகும்.

முகடு

முகடு

தரவின் முகடு அல்லது ஆகாரம் (mode) என்பது அத்தரவில் அடிக்கடி காணப்படும் மதிப்பாகும். கூட்டுச் சராசரி,இடைநிலையளவு போன்று இதுவும் ஒரு மையப்போக்கு அளவையாகும். ஒரு தரவின் தன்மையைப் பிரதிபலிக்கும் தனி மதிப்புகளான மையப்போக்கு அளவைகளில் ஒன்றாக முகடு இருந்தாலும் அது கணிக்கப்படும் முறையால் துல்லியமான அளவையாகக் கொள்ள முடியாது. எனினும் இது எளிதாகக் கணிக்கக் கூடிய ஒரு மையப்போக்கு அளவையாகும்.

இயல்நிலைப் பரவலில் கூட்டுச் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு மூன்றும் ஒரேயளவாக இருக்கும். ஆனால் அதிகளவு கோட்டமுடையப் பரவலில் (skewed distribution) இவை மூன்றும் வெவ்வேறு மதிப்புகளாக இருக்கும்.இயற்பியலில் முகடு என்பது அதிர்வின் மையப் புள்ளிக்கு மேலே இருப்பனவாகும்

ஒரு தரவிற்கு ஒரேயொரு முகடு மட்டுமே இருக்கும் என்றில்லை. ஏனென்றால் சமமான அளவில் அதிகமாக காணப்படும் மதிப்புகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்டதாக அத்தரவில் இருக்கலாம். தரவு நிகழ்வெண் பரவலாக இருந்தால் சமமான மிக அதிகமான நிகழ்வெண் கொண்ட மதிப்புகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்டு இருக்கலாம். சில சமயங்களில் பரவலின் சமவாய்ப்பு மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளுமே இவ்வாறு சம நிகழ்வெண் கொண்டிருக்கலாம். ஒரேயொரு முகடுடைய தரவு ஒரு முகட்டுத் தரவு என்றும் இரு முகடுகளையுடைய தரவு இரு முகட்டுத் தரவு என்றும் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட முகடுகளையுடைய தரவு பல முகட்டுத் தரவு என்றும் அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

முகடு காணப்பட வேண்டிய தரவுகளின் வெவ்வேறுவித அமைப்புகளைப் பொறுத்து காணும் முறைகள் மாறுபடும்.

சீர்படா தரவு

• [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] -இத்தரவில் ஏனைய மதிப்புகளை விட 6 அதிகமாக 4 முறை காணப்படுவதால் முகடு = 6. இத்தரவு ஒருமுகட்டுத் தரவு.
• [1, 1, 2, 4, 4] -இத்தரவில் 1, 4 சமமாக 2 முறைகள் காணப்படுவதால் முகடுகள் 1, 4. இத்தரவு இருமுகட்டுத் தரவு.

தனித்த தொகுப்பாக்கத் தரவு

x	f
1	8
2	5
3	11
4	7
5	2

இத்தரவின் உயர்ந்தபட்ச நிகழ்வெண் 11. இதற்குரிய x இன் மதிப்பு 3 தரவின் முகடாகும்.

தொடர் நிகழ்வெண் பரவல் (தொடர் தொகுப்பாக்கத் தரவு)

முகடு = ${\displaystyle l+{\frac {f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-(f_{0}+f_{2})}}\times c}$

• ${\displaystyle l}$ = முகடு பிரிவு இடைவெளியின் கீழ்வரம்பு
• ${\displaystyle f_{1}}$= முகடு பிரிவு இடைவெளிக்கான நிகழ்வெண்
• ${\displaystyle f_{0}}$=முகடு பிரிவு இடைவெளிக்கு முந்திய இடைவெளிக்கான நிகழ்வெண்
• ${\displaystyle f_{2}}$=முகடு பிரிவு இடைவெளிக்கு பிந்திய இடைவெளிக்கான நிகழ்வெண்
• ${\displaystyle c}$= பிரிவு இடைவெளிகளின் நீளம்

இடைநிலையளவு

இடைநிலையளவு

தரவின் இடைநிலையளவு அல்லது இடையம் என்பது தரவின் மதிப்புகளை ஏறு அல்லது இறங்கு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தினால் நடுவில் உள்ள மதிப்பைக் குறிக்கும். மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையாக இருந்தால், நடுவில் உள்ள மதிப்பு இடைநிலையளவாக அமையும். மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையாக இருந்தால், நடுவில் உள்ள இரண்டு மதிப்புகளின் கூட்டுச்சராசரி இடைநிலையளவாக அமையும். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தரவின் உயர்பாதியைக் கீழ்பாதியிலிருந்து பிரிக்கும் மதிப்பாக இடைநிலையளவு இருக்கும்.

கூட்டுச் சராசரி

கூட்டுச் சராசரி

சராசரி (Average) என்பது ஒரு தரவின் தன்மையைக் கிட்டத்தட்ட அதேயளவில் சுட்டிக்காட்டும் ஒரு தனிஎண் மதிப்பாகும். இம்மதிப்பை மையமாகக் கொண்டு தரவின் மதிப்புகள் அமையும் என்பதால் மையப்போக்கு அளவை (measure of central tendency)எனவும் சராசரி அழைக்கப்படுகிறது.

கூட்டுச் சராசரி

a_i, i = 1, ..., n என்ற n எண்கள் தரப்பட்டிருந்தால் அவற்றின் கூட்டுச் சராசரி:

${\displaystyle AM={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.}$

முக்கோணவியல் அட்டவணை

முக்கோணவியல் அட்டவணை 

முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

முக்கோணவியல் விகிதங்கள் 

1.செங்கோணத்திற்கு  நேர்  எதிரே அமைந்துள்ள பக்கம் கர்ணம் 

2.கோணம்θ  விற்கு நேர்  எதிரே அமைந்துள்ள பக்கம் எதிர் பக்கம் ஆகும்.

3.θ விற்கு அருகிலுள்ள காரணம் அல்லாத பக்கம் அடுத்துள்ள பக்கம் ஆகும்.

sin θ =   எதிர் பக்கம்/கர்ணம்                                                                 

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}.}$cos θ  =  அடுத்துள்ள பக்கம் /கர்ணம்         

${\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}.}$tan θ    = எதிர் பக்கம்/ அடுத்துள்ள பக்கம் 

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {h}{a}}.}$cosec θ = கர்ணம்/எதிர் பக்கம்                    

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}{\frac {h}{b}}.}$sec θ   = கர்ணம்/அடுத்துள்ள பக்கம்         

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {b}{a}}.}$cot θ   =அடுத்துள்ள பக்கம் /எதிர் பக்கம்