கோணஇருசமவெட்டி தேற்றம் -நிரூபணம்

கோணஇருசமவெட்டி -தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது, அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

நிரூபணம் :

                                           

• , ${\displaystyle \triangle ABD}$ மற்றும் ${\displaystyle \triangle ACD}$ முக்கோணங்களுக்கு சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}$ ..... (சமன்பாடு 1)

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}$ ..... (சமன்பாடு 2)

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BDA}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle ADC}$ இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் சைன் மதிப்புகள் சமம்.

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BAD}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle DAC}$ இரண்டும் சமமானவை.
• எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}}}$

எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle \ AD}$ கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BAD}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle DAC}$ இரண்டும் சமமில்லை.

• சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA}}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}}$

கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BDA}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle ADC}$ இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC}}$

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.